Metodo della Variazione delle Costanti

Nello studio delle perturbazioni dipendenti dal tempo in meccanica quantistica, uno strumento fondamentale è il metodo della variazione delle costanti. Questo approccio permette di ottenere equazioni differenziali per i coefficienti di espansione di uno stato quantistico su una base di autostati non perturbati, facilitando il calcolo di probabilità di transizione tra stati iniziale e finale a causa della perturbazione tempo-dipendente.

L’idea di base è semplice: si parte da una base di autostati dell’Hamiltoniano non perturbato, \(\{\phi_n(\mathbf{r})\}\), con energie \(E_n\). Lo stato \(\psi(\mathbf{r},t)\) del sistema, in presenza di una perturbazione \(\hat{H}'(t)\), si espande come:

\[ \psi(\mathbf{r},t) = \sum_n c_n(t)\, \phi_n(\mathbf{r}) e^{-iE_n t/\hbar}. \]

Se la perturbazione è piccola, si cerca di determinare le equazioni per i coefficienti \( c_n(t) \) utilizzando la tecnica della variazione delle costanti.

Formulazione

In assenza di perturbazione, i coefficienti \( c_n(t) \) sarebbero costanti nel tempo (se lo stato iniziale è una sovrapposizione di autostati). Con la perturbazione, \(\hat{H}'(t)\), i coefficienti diventano funzioni del tempo. Sostituendo l’espansione di \(\psi(\mathbf{r},t)\) nell’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo:

\[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf{r},t) = \left(\hat{H}_0 + \hat{H}'(t)\right)\psi(\mathbf{r},t), \] e proiettando su uno stato \(\phi_m(\mathbf{r})\), si ottiene un’equazione per \(c_m(t)\).

Equazioni per i Coefficienti \( c_n(t) \)

Moltiplicando scalarmente l’equazione per \(\phi_m^*(\mathbf{r})\) ed integrando nello spazio, ricordando che \(\phi_m(\mathbf{r})\) sono autostati di \(\hat{H}_0\) e ortonormali, si trova:

\[ i\hbar \frac{d c_m(t)}{d t} = \sum_n c_n(t) e^{i(E_m - E_n)t/\hbar} \langle \phi_m|\hat{H}'(t)|\phi_n \rangle. \]

Queste sono equazioni accoppiate per i coefficienti \( c_n(t) \). Se la perturbazione è debole, si può procedere per approssimazioni successive.

Probabilità di Transizione \((i \to f)\)

Se il sistema è inizialmente nello stato \(\phi_i\) con \(c_i(0)=1\) e tutti gli altri \(c_n(0)=0\), la probabilità di trovare il sistema nello stato \(\phi_f\) dopo un certo tempo \(t\) è semplicemente:

\[ P_{i\to f}(t) = |c_f(t)|^2. \]

Il metodo della variazione delle costanti fornisce, in prima approssimazione, un’espressione per \( c_f(t) \) in termini dell’integrale nel tempo della perturbazione. Ad esempio, se \(\hat{H}'(t)\) è piccolo, si può considerare:

\[ c_f^{(1)}(t) \approx \frac{-i}{\hbar}\int_0^t dt' e^{i(E_f - E_i)t'/\hbar}\langle \phi_f|\hat{H}'(t')|\phi_i\rangle. \] In questo modo, si ottiene una formula perturbativa per la probabilità di transizione.

Alla Lavagna

1. Scrivi lo stato come: \[ \psi(\mathbf{r},t) = \sum_n c_n(t)\phi_n(\mathbf{r})e^{-iE_n t/\hbar}. \]

2. Inserisci nell’equazione di Schrödinger: \[ i\hbar \frac{d}{dt} \sum_n c_n(t)\phi_n(\mathbf{r})e^{-iE_n t/\hbar} = (\hat{H}_0+\hat{H}'(t)) \sum_n c_n(t)\phi_n(\mathbf{r})e^{-iE_n t/\hbar}. \]

3. Proietta su \(\phi_m(\mathbf{r})\): \[ i\hbar \frac{d c_m(t)}{dt} = \sum_n c_n(t)e^{i(E_m - E_n)t/\hbar}\langle \phi_m|\hat{H}'(t)|\phi_n \rangle. \] 4. Spiega che \(\hat{H}_0\) non contribuisce poiché \(\phi_m\) sono i suoi autostati.

5. Se inizialmente \(c_i(0)=1\) e \(c_{n\neq i}(0)=0\), in prima approssimazione (teoria delle perturbazioni a primo ordine) ottieni un’espressione integrale per \(c_f(t)\).

Significato Fisico

Il metodo della variazione delle costanti traduce il problema della dinamica di stati quantistici, in presenza di un potenziale tempo-dipendente, in un sistema di equazioni differenziali per i coefficienti dell’espansione. È un metodo centrale per derivare formule di transizione, come la regola d’oro di Fermi o la probabilità di passare dallo stato \(i\) allo stato \(f\) a causa di una perturbazione esterna.

Inoltre, fornisce la base formale per discutere l’emissione, l’assorbimento stimolato o spontaneo di radiazione, i processi di scattering in presenza di campi variabili e molte altre situazioni di interesse fisico in cui le condizioni cambiano nel tempo.

Ulteriori Dettagli Matematici sul Metodo della Variazione delle Costanti

Dopo aver introdotto le equazioni accoppiate per i coefficienti \( c_n(t) \), è istruttivo mostrare qualche passaggio intermedio in modo più esplicito. Consideriamo il caso in cui il sistema all’istante iniziale \( t=0 \) si trovi in uno stato ben definito, ad esempio l’autostato \(\phi_i\) con energia \( E_i \). Questo significa che \( c_i(0)=1 \) e tutti gli altri \( c_n(0)=0 \). L’obiettivo è comprendere come una perturbazione tempo-dipendente \(\hat{H}'(t)\) possa indurre transizioni verso altri autostati \(\phi_f\), modificando nel tempo i coefficienti \( c_f(t) \).

Il punto di partenza è l’equazione:

\[ i\hbar \frac{d c_m(t)}{dt} = \sum_n c_n(t) e^{i(E_m - E_n)t/\hbar} \langle \phi_m|\hat{H}'(t)|\phi_n\rangle. \]

Se la perturbazione non è debole, si devono risolvere direttamente queste equazioni accoppiate, spesso ricorrendo a metodi numerici. Se invece la perturbazione è debole, si applica una teoria delle perturbazioni a ordini successivi in \(\hat{H}'(t)\).

All’ordine più basso (il primo ordine), si assume che \( c_f(t) \) resti piccolo se \( f \neq i \), mentre \( c_i(t) \approx 1 \). Questo permette di linearizzare il problema. Per il canale di transizione \( i \to f \):

\[ i\hbar \frac{d c_f(t)}{dt} \approx e^{i(E_f - E_i)t/\hbar}\langle \phi_f|\hat{H}'(t)|\phi_i\rangle, \] \

usando il fatto che \( c_i(t) \approx 1 \) e \( c_{n\neq i}(t)\approx 0 \). Questa è un’equazione differenziale ordinaria per \( c_f(t) \) che si può integrare direttamente nel tempo.

L’integrazione dal tempo iniziale \(0\) a un tempo \( t \) restituisce:

\[ c_f^{(1)}(t) \approx \frac{-i}{\hbar}\int_0^t e^{i(E_f - E_i)t'/\hbar}\langle \phi_f|\hat{H}'(t')|\phi_i\rangle \, dt'. \]

Questo risultato fornisce al primo ordine la dinamica del coefficiente \( c_f(t) \). Da questo coefficiente si ottiene la probabilità di transizione:

\[ P_{i\to f}(t) = |c_f^{(1)}(t)|^2, \]

la quale, se la perturbazione è abbastanza piccola e il tempo non eccessivamente lungo, può essere approssimata come \( P_{i\to f}(t) \approx |c_f^{(1)}(t)|^2 \) senza includere ordini superiori.

Alla lavagna si potrebbe chiarire questo integrale disegnando un diagramma temporale: sull’asse orizzontale il tempo \( t' \), e indicare come la perturbazione \(\hat{H}'(t')\) agisce sull’integrando. La fase \( e^{i(E_f - E_i)t'/\hbar} \) genera un’oscillazione rapida se la differenza di energia è grande, oppure una variazione lenta se i livelli energetici sono quasi risonanti.

Un esempio: se \(\hat{H}'(t)\) è del tipo \( \hat{H}'(t)=\hat{V}e^{-i\omega t} \) (perturbazione armonica), allora l’integrale assume una forma più regolare e permette di identificare condizioni di risonanza quando \( \hbar \omega \approx E_f - E_i \). Il metodo della variazione delle costanti diventa allora uno strumento per ricavare formule che conducono, nel limite appropriato, alla regola d’oro di Fermi.

In definitiva, il metodo della variazione delle costanti e il conseguente approccio perturbativo in prima approssimazione offrono una chiara interpretazione fisica: se il sistema parte in uno stato iniziale definito, la probabilità di trovarlo in uno stato finale a causa di una perturbazione dipende dall’integrale nel tempo dell’accoppiamento matriciale tra i due stati, modulato dal fattore di fase.

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