Quando si considera l’evoluzione quantistica di un sistema soggetto a perturbazioni dipendenti dal tempo, l’interesse spesso si focalizza sulla probabilità che il sistema resti nello stato iniziale, nonostante le interazioni esterne. In molti casi, un sistema preparato in uno specifico stato stazionario con energia \(E_i\) può subire transizioni verso altri stati a causa della perturbazione. Analizzare la probabilità che lo stato rimanga invariato fornisce informazioni sulle proprietà di decadimento, sulla vita media dello stato e sulla corrispondente larghezza di riga associata ai livelli energetici.
Questo argomento è profondamente legato alla regola d’oro di Fermi, alla teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo, e al concetto di transizione a uno spettro continuo di stati finali. Quando la perturbazione permette una transizione a uno spettro continuo (come in un processo di decadimento), la probabilità di rimanere nello stato iniziale diminuisce nel tempo, con un andamento esponenziale che caratterizza un tempo di vita e una larghezza di riga dell’autostato.
Consideriamo un sistema inizialmente preparato in un autostato \(|i\rangle\) dell’Hamiltoniano non perturbato con energia \(E_i\). Quando si applica una perturbazione tempo-dipendente \(\hat{V}(t)\), la probabilità di trovare il sistema ancora nello stato \(|i\rangle\) a un tempo \(t\) si può approssimare (per perturbazioni deboli) come:
\[ P_{i\to i}(t) \approx 1 - \Gamma t, \] per tempi sufficientemente brevi, dove \(\Gamma\) è un tasso di decadimento. Per tempi più lunghi, se i canali di decadimento sono molti e se lo spettro finale è continuo, si ottiene un andamento esponenziale del tipo: \[ P_{i\to i}(t) \approx e^{-\Gamma t}. \]La vita media \(\tau\) dello stato \(|i\rangle\) è definita come il tempo caratteristico in cui la probabilità di rimanere nello stato si riduce di un fattore \(1/e\). Dall’andamento esponenziale si vede che:
\[ \tau = \frac{1}{\Gamma}. \]Una vita media lunga implica che lo stato è “quasi-stazionario”; una vita media breve indica un decadimento rapido, quindi lo stato non è realmente stazionario in presenza della perturbazione.
La larghezza di riga \(\Delta E\) è associata all’incertezza energetica dello stato. Un autostato dell’Hamiltoniano non perturbato ha un’energia ben definita. Tuttavia, se lo stato decade con un certo tasso \(\Gamma\), per il principio di indeterminazione energia-tempo:
\[ \Delta E \approx \hbar \Gamma = \frac{\hbar}{\tau}. \]Un tempo di vita finito \(\tau\) comporta dunque che l’energia del livello non è più perfettamente definita, ma si “allarga” in una banda di energia di ampiezza \(\Delta E\). Questo fenomeno è alla base dell’ampiezza finita delle righe spettrali osservate negli spettri di emissione o assorbimento: un livello con vita media limitata non genera una linea infinitamente sottile, ma una riga con una certa larghezza.
Questi risultati hanno grande rilevanza nella spettroscopia: le righe spettrali non sono mai perfettamente sottili, ma presentano larghezze finite. La larghezza riflette la dinamica quantistica del sistema, i canali di decadimento e i processi che provocano transizioni. Inoltre, nelle reazioni nucleari, nel decadimento di particelle e in fisica atomica o molecolare, la vita media e la larghezza di riga forniscono informazioni sulle interazioni fondamentali, sui meccanismi di transizione e sulle forze perturbative in gioco.
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