Appunti Fisica II - Pagine (con riassunto)

Pagina di apertura/separatore della raccolta di appunti. Non contiene contenuto didattico, serve solo come copertina.

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Pagina 2:

Qui si introducono i concetti base di carica elettrica e interazione elettrostatica: forza tra cariche (Coulomb), campo elettrico e principio di sovrapposizione, con esempi di calcolo.

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Pagina 3: Materiali Isolanti: materiali i cui elettroni sono fortemente legati ai nuclei degli

Qui si introduce la polarizzazione dei dielettrici e le grandezze macroscopiche \(\mathbf{P}\) e \(\mathbf{D}\), con relazione costitutiva e implicazioni su campo e potenziale.

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Pagina 4: 1/n0/2024 (sistemi di riferimento inerziali) Grazie ad unapparato sperimentale detto bilancia di torsione, è...

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Pagina 5: Considerando il sistema delle tre cariche si è verificato Sperimentalmente che la forza

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Pagina 6: Calcolo Delle COMPONENTI VETTORIALI DEL CAMPO ELETTRICO GENERATO DA N CARICHE

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Pagina 7: DISTRIBUZIONE DI CARICA SUPERFICIALE Densità di carica superficiale (5) dS da da = 3dS

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Pagina 8: CRITERIO DI FARADAY Preso un elemento di superficie aJosè contenente il punto P nel quale voglio calcolare

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Pagina 9: 3/10/2024 Esempi di campi elettrici di Distribuzioni

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Pagina 10: Ez=Caldo si [sim() - sint)) = 28z ↓ Gli estremidiintegraziesonoperchéper elementini di e e se & Ez zuEoZ

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Pagina 11: & XalS dEx = undo (r2+X 2]312 Dato che si tratta di una distribuzione continua di cariche

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Pagina 12: Calcolo il compo elettrico in un punto posizionato arbitrariamente sull'assez (potrebbe anche non esserlo).

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Pagina 13: a) disco piRaggio R uniformemente carico Calcoliamo il compo elettrico in un punto a ↑da R

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Pagina 14: Intrand dr = -I RE (Ri = IR Ez=36 E = Campo elettrico in un

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Pagina 15: sferico è nullo. u/nol zo24 Tutta la carica elettrica che siMova al di sopra di

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Pagina 16: Flusso Del CAMPO ELETTRICO e legge Di GAUSS - Vale per qualunque campo elettrico (non solo elettrostatico

Qui si collega il flusso del campo elettrico alla carica racchiusa (legge di Gauss) e si sfruttano simmetrie (piana, cilindrica, sferica) per ricavare \(\mathbf{E}\).

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Pagina 17: Flusso Di Campo elettrico Attraverso superfici Chiuse I Eli Per calcolare il

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Pagina 18: dAL da perché: 1) Si trovano a distanze diverse da q e una

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Pagina 19: FLUSSO Di CAMPO ELETTRICO DOVUTO A Una Carica INTERNA/ esterna Ad

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Pagina 20: dax = d + da = [v(x+ax) - v(x)]dydz = [v(x+dx) - v(x)]dydz I vx(x+dx) - v(x) dxdydzddyd dx Ripetendo

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Pagina 21: Lóperatore gradiente nabla (5), in uno spazio tridimensionale generato da un sistema di coordinate cortesiane

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Pagina 22: Sondaz e flusso uscente nella superficie S - Sonds + flusso entrante nella superficie Si (senza il

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Pagina 23: Se P fosse un punto di equilibrio stabile, le forze dovrebbero essere tutte

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Pagina 24: a) campo dique piani infiniti, paralleli e di carica opposta t Applicando al sistema il

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Pagina 25: Poniamo per assurdo di avere un campo eletrico tale per cui Ex Calcolo il flusso di campo

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Pagina 26: Consideriamo adesso un agente esterno che applica alla carica una forza uguale

Qui si introduce il potenziale elettrico \(V\) e il legame \(\mathbf{E}=-\nabla V\), discutendo superfici equipotenziali, lavoro e proprietà conservative del campo.

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Pagina 27: Wa+B Cunitario) =- Pergo A = Po e B = P (Pha quindi distanza r dall'origine):

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Pagina 28: CORRELAZIONE TRA CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE zn Il lavoro di Cunitario) svolto per

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Pagina 29: La variazione del campo scalare nel tratto de è quindi pari al prodotto scalare del gradiente di U per il...

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Pagina 30: Se lo spostamento non è parallelo aT svolgo la derivata direzionale lungo:

Qui si unificano i fenomeni con le equazioni di Maxwell e si studiano onde elettromagnetiche, energia/flussso (vettore di Poynting) e propagazione.

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Pagina 31: (An alternativa, si sarebbe potuto dimostrare più semplicemente spiegando che dato che vale la relazione

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Pagina 32: Campi CONSERVATIVI e SOLENDIDAli =V = conservativo = = vx = vy= ↳:

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Pagina 33: Esempio: campo magnetico Il campo magnetico è solenoidale ovunque (o = 0 sempre) e non

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Pagina 34: Ripeto il ragionamento per dei rettangolini infinitesimi paralleli al piano [x, y] e [x, z):

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Pagina 35: PROPRIETÀ DI EX 1)·x = 0 (divergenza del rotore nula) =(xv)x + (xv)y + (xv)z = =( = 0

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Pagina 36: Calcoliamo il potenziale in un punto P(X, y, z) dello spazio dovuto a

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Pagina 37: 11/10/2024 Potenziale dipolo elettrico:

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Pagina 38: ↑RR Applica la relazionegurFE, con E1 SvilPRO In Serie TRONCATO Dopo Il PRIMO TERMINE ~(+

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Pagina 39: *Nell'approssimazione fatta, ci sono casi in ci anche p = 0 Esempio:

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Pagina 40: Q(r) = Surig Dato che da dista r da QCr), posso scrivere:

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Pagina 41: 14/10/202u = ESV)g)di e dove localizzata l'energia elettrostatica? L'energia elettrostatica è

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Pagina 42: * Dimostrazione (considerando l'ambito dell'elettrostatica Lenergia elettrostatica del sistema è:

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Pagina 43: ENERGIA Di UNA CARICA PUNTIFORME · P M Compo elettrico in P: E= Densità di energia

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Pagina 44: Es = -po Se il dipolo fosse una molecola /elettricamente meutra, ma con la carica distribuita in maniera...

Qui si studiano i conduttori in equilibrio elettrostatico (campo nullo all'interno, cariche sulla superficie), induzione, schermatura e capacità/condensatori con esempi tipici.

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Pagina 45: nel senso che la loro velocità dipende dalla temperatura 7 a cui si trova il

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Pagina 46: COME CARICARE UN CONDUTTORE Prendiamo nuovamente in considerazione il sistema bacchetta carica negativamente-

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Pagina 47: superficie diC, la colica in eccesso per for si che rimanga Zai = o (in,S') deve necessariamente essere...

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Pagina 48: In un punto P fuori dal conduttore si ha == +En => =- In un punto P

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Pagina 49: se Cin fosse non carico sia se verisse caricato tramite

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Pagina 50: Prendiamo in considerazione un ambiente formato da un involucro metallico collegato

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Pagina 51: la carica cambierebbe per via dell'induzione elettrostatica (quindi non potrò più avere ge

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Pagina 52: Metodo delle immagini (è un metodo di risoluzione indiretto perché non stiamo risolvendo l'equazione...

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Pagina 53: Comprende completTy(+) = - [ -+ Sul conduttore (quindi z = o), essendo una superficie equipotenziale ELS e...

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Pagina 54: 18/10/2024 Un conduttore sterico carico e

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Pagina 55: Nel caso in cui un conduttore appuntito si trovasse IONE NEGATIVO

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Pagina 56: am 912 &13 -> A coefficienti dipendono dai dettagli del sistema. Qze &22 &23 La

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Pagina 57: Esempio: capacità di un capacitore piano Prendiamo in considerazione un capacitore formato da due Fogli...

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Pagina 58: 21/10/2024 =: capacità di un singolo conduttore

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Pagina 59: Forza fra le Armature di Un CONDENSATORE Prendiamo un condensatore piano avente una capacità C' e un'energia =

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Pagina 60: Il bilanciamento energetico corretto è quindi:

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Pagina 61: Gliß Nel caso del capacitare vuoto, ho un campo elettrico Eo: Gi +

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Pagina 62: d Il compo elettrico medio può essere ricavato facendone una P

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Pagina 63: Campo elettrico macroscopico:

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Pagina 64: 2) Con un compo elettrico estelno Èo Fo, si vanno a formare · N E dei dipoli

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Pagina 65: superficiale di carico Epa Fo. Considerando f lo spostamento delle cariche sulle superfici,S', ottengo:

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Pagina 66: Era = Fon, gra = -*o > Ja =ose-50 = 0 Di conseguenza,se è uniforme, quindi costante,

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Pagina 67: Esempio:Condensatore PIANO RIEMPITO CON Un DIELETTRICO Le amature cariche del condensatore

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Pagina 68: modello teorico per la stima di X (Nun Funziona per sostanze poco dense, come i gas (es. L'idrogend Prendiamo...

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Pagina 69: Data l'espressione dell'energia totale in funzione del raggio, posso ricavare L'energia minima corrispondente...

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Pagina 70: Quello che ho è quindi un oscillatore amanico atomico falzato con una frequenza

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Pagina 71: Se volessi separare un elettrone da un atomo di Hallo stato fondamentale, dovrei fornire 13, 6 eV di energia

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Pagina 72: Se si verificasse una situazione di questo tipo, anche D ed non sarebbero paralleli e

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Pagina 73: Eo= = u CORRENTI ELETTRICHE Prendiamo un conduttore metallico tale per cui

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Pagina 74: Quanta carica attraversa a,S'in un tempo st? D,S s Il volume riempito da aq nel tempo st è V = aiS'vat

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Pagina 75: Di conseguenza, la corrente I può essere scritta come:

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Pagina 76: at) = SugdV, y: censitadicarica I = /s Jod--njaV legge di conservazione f è una quantità che può DELLA CARICA...

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Pagina 77: Se rimane costante lungo l'unica direzione in cui si ha moto di particelle, vol dire che

Qui si passa al regime stazionario di corrente: densità di corrente, legge di conservazione della carica, legge di Ohm, resistività e modelli microscopici (Drude).

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Pagina 78: Per alcuni materiali, pur essendoci una relazione lineare tra ed È, si ha che

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Pagina 79: 29/no/2024 modello classico della conduzione di drude (vale per condutari ohmici) nella costruzione del...

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Pagina 80: Dato cheCt+dt) =(t) + tut, si ha (t)+ dt =(t) +[d =, da ci si diere l'equazione differenziale:

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Pagina 81: ESEMPIO: sodio METANICO 5nr = 2, 1. 107 (Rim)", perciò si ottiene Inn=Mos =

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Pagina 82: CONDUTTORE ATTRAVERSATO Da UNA CORRENTE ELETTRICA I Supponiamo di avere un conduttore

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Pagina 83: possibile con la sola presenza di El (Sel-dê = o), perciò il generatore deve essere un

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Pagina 84: ulm/ 2024 Semi-conduttori · Si Un esempio di semi-conduttore è il silicio, (strettamente parlando che è

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Pagina 85: A temperatura T=300K, /ki) = 1, 6. 10 per 10 è in bonda di valenza ne ho uno in banda di

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Pagina 86: una distanza di 0. 044 eV dal primo livello della banda di conduzione. A T = ok

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Pagina 87: Dispositivi come la Bussola sono costituiti da un ago magnetico che può risentire del campo elettrico...

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Pagina 88: Se si ripete l'esperienza mettendo al S I · posto dell'ago una bobina,

Qui si definisce il campo magnetico e le forze su cariche/correnti (Lorentz/Laplace) e si calcolano campi prodotti da correnti (Biot-Savart/Ampère), con esempi su fili, spire, solenoidi.

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Pagina 89: 5/11/2024 Consideriamo un sistema di riferimento

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Pagina 90: Il selettore di velocità è uno strumento che J.J. Thomson utilizzò per misurare il

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Pagina 91: La velocità angolare della particella sarà w=B non dipende da v A partire da l posso definire la frequenza

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Pagina 92: 3) effetto tal consideriamo una sbarretta di materiale conduttore za I= N che viene attraversata

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Pagina 93: FORZA MAGNETICA AGENTE SU UN FILO PERCORSO DA CORRENTE ELETTRICA Consideriamo

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Pagina 94: > prova A calcolarlo rispetto ad un altro punto za L Siccome la somma delle forze

Qui si introduce il potenziale elettrico \(V\) e il legame \(\mathbf{E}=-\nabla V\), discutendo superfici equipotenziali, lavoro e proprietà conservative del campo.

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Cosa segue

Pagina 95: I corrisponde al lavoro meccanico svolto per portare la spira da -a (B = d) alla sua posizione (BFO) Unec:

Qui si definisce il campo magnetico e le forze su cariche/correnti (Lorentz/Laplace) e si calcolano campi prodotti da correnti (Biot-Savart/Ampère), con esempi su fili, spire, solenoidi.

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Cosa segue

Pagina 96: Nel caso generale in cui l'elementino di circuito non si trovi nell'origine del sistema di

Qui si introducono i concetti base di carica elettrica e interazione elettrostatica: forza tra cariche (Coulomb), campo elettrico e principio di sovrapposizione, con esempi di calcolo.

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Pagina 97: linee di campo circolari La formula vettoriale del compo magnetico [ A "nr = P di un filo

Qui si definisce il campo magnetico e le forze su cariche/correnti (Lorentz/Laplace) e si calcolano campi prodotti da correnti (Biot-Savart/Ampère), con esempi su fili, spire, solenoidi.

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Pagina 98: CAMPO MAGNETICO Di Un SOLENDIDE Un solenoide è una bobina di forma cilindrica che si

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Pagina 99: Esempio: consideriamo due circuiti y, esa che si estendono per un tratto

Qui si collega il flusso del campo elettrico alla carica racchiusa (legge di Gauss) e si sfruttano simmetrie (piana, cilindrica, sferica) per ricavare \(\mathbf{E}\).

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Pagina 100: -(I() drillo VERIFICHIAMO CHEofI(r)drix 0:

Qui si collega il flusso del campo elettrico alla carica racchiusa (legge di Gauss) e si sfruttano simmetrie (piana, cilindrica, sferica) per ricavare \(\mathbf{E}\).

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Pagina 101: Il prodotto vettorialex si può esprimere come = Erijaibjên Esempio:

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Pagina 102: B = 0 Se il solenoide è infinitamente lungo, all'esterno di esso > = 0 e le

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Pagina 103: 12/11/2024 Consideriamo un percorso abitrario y

Qui si introducono i concetti base di carica elettrica e interazione elettrostatica: forza tra cariche (Coulomb), campo elettrico e principio di sovrapposizione, con esempi di calcolo.

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Pagina 104: ↓come contano. Applicando il teorema di stores alla circuitazione del campo magnetico,

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Pagina 105: RELATIVITÀ SPECIALE esstenza de campi magnetici effetto relativi st co Pincipio di relatii tutte

Qui si richiamano i postulati della relatività speciale e si derivano le trasformazioni di Lorentz con conseguenze (dilatazione dei tempi, contrazione delle lunghezze) e trasformazione dei campi.

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Pagina 106: Intervallo ha due eventi LAB:

Qui si richiamano i postulati della relatività speciale e si derivano le trasformazioni di Lorentz con conseguenze (dilatazione dei tempi, contrazione delle lunghezze) e trasformazione dei campi.

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Pagina 107: Implicazion delle trasformazion di Sorentz Controsione delle lunghezze z1 LAB z'1 RAZZO Razzo:

Qui si richiamano i postulati della relatività speciale e si derivano le trasformazioni di Lorentz con conseguenze (dilatazione dei tempi, contrazione delle lunghezze) e trasformazione dei campi.

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Cosa segue

Pagina 108: Energia, quantità di moto,, forza particella n, v si dimostra che

Qui si introduce la polarizzazione dei dielettrici e le grandezze macroscopiche \(\mathbf{P}\) e \(\mathbf{D}\), con relazione costitutiva e implicazioni su campo e potenziale.

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Cosa segue

Pagina 109: Misca di È in diversi riferimenti RAZZO LAB LAB RAZZO invariante a

Qui si studiano i conduttori in equilibrio elettrostatico (campo nullo all'interno, cariche sulla superficie), induzione, schermatura e capacità/condensatori con esempi tipici.

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Cosa segue

Pagina 110: Legame tra campo elettico e campo magnetico (cuare dell'elettromagnetismo y1 · =M F, x formule >

Qui si unificano i fenomeni con le equazioni di Maxwell e si studiano onde elettromagnetiche, energia/flussso (vettore di Poynting) e propagazione.

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Pagina 111: Seggi general di trasformazione di campi compo elettico campo magnetico LAB

Qui si definisce il campo magnetico e le forze su cariche/correnti (Lorentz/Laplace) e si calcolano campi prodotti da correnti (Biot-Savart/Ampère), con esempi su fili, spire, solenoidi.

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Pagina 112: Rielaborazione 1

Pagina di separazione tra blocchi di appunti (copertina di sezione). La pagina successiva include l'inserimento della lezione mancante sul potenziale vettore.

Cosa segue

Pagina 113:

In questa sezione si introduce il potenziale vettore \(\mathbf{A}\) come strumento per descrivere il campo magnetico in magnetostatica, discutendo gauge e analogie con l'elettrostatica. Si applica poi a esempi (solenoide, filo infinito, spira/dipolo magnetico) e si accenna all'effetto di Aharonov-Bohm e ai fondamenti della relatività speciale.

Punti chiave (pagina sostitutiva)

• Confronto tra equazioni di magnetostatica ed elettrostatica: \(\nabla\cdot\mathbf{B}=0\), \(\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{j}\) vs \(\nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\varepsilon_0\), \(\nabla\times\mathbf{E}=0\). Si nota che \(\mathbf{E}\) è conservativo (ammette potenziale scalare), mentre \(\mathbf{B}\) in generale no: l'integrale di linea dipende dal percorso.
• Introduzione del potenziale vettore \(\mathbf{A}\) definito da \(\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}\). Da qui \(\nabla\cdot\mathbf{B}=0\) è automaticamente soddisfatta. \(\mathbf{A}\) non è unico: trasformazione di gauge \(\mathbf{A}'=\mathbf{A}+\nabla\phi\). Scelta possibile: gauge di Coulomb \(\nabla\cdot\mathbf{A}'=0\).
• Esempio (13/11): solenoide infinito con \(\mathbf{B}=B\hat{\mathbf{k}}\). Si costruiscono diverse \(\mathbf{A}\) equivalenti (stesso rotore) e si osserva che \(\mathbf{A}\) è tangente a circonferenze concentriche. Con Stokes: \(\oint_\gamma \mathbf{A}\cdot d\boldsymbol\ell = \iint_S \mathbf{B}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS = \Phi_B\). Per un cerchio di raggio \(r\): \(2\pi r A = \pi r^2 B\Rightarrow A=\tfrac12 Br\).
• Dalla legge di Ampère: \(\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{j}\Rightarrow \nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})=\mu_0\mathbf{j}\). Con l'identità \(\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A})-\nabla^2\mathbf{A}\) e in gauge di Coulomb si ottiene l'equazione di Poisson vettoriale: \(\nabla^2\mathbf{A}=-\mu_0\mathbf{j}\).
• Soluzione per componenti (analogia con \(\nabla^2V=-\rho/\varepsilon_0\)): \(A_i(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{j_i(\mathbf{r}')}{\lVert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rVert}\,d^3r'\). Si può 'tradurre' un problema magnetostatico in uno elettrostatico sostituendo \(\rho/\varepsilon_0 \leftrightarrow \mu_0 j_i\) (equivalentemente \(\rho\leftrightarrow j_i/c^2\)).
• Esempio: filo rettilineo infinito (corrente lungo \(z\)): \(\mathbf{A}\parallel\hat{\mathbf{k}}\) e si ricava \(\mathbf{B}\) come rotore di \(\mathbf{A}\), ottenendo il comportamento atteso \(|\mathbf{B}|=\mu_0 I/(2\pi r)\). Esempio (14/11): potenziale vettore di una spira lontana \(R\gg a,b\) e approssimazione di dipolo magnetico con momento \(\boldsymbol\mu=Iab\,\hat{\mathbf{n}}\). Forma compatta: \(\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\boldsymbol{\mu}\times \mathbf{r}}{r^3}\) e quindi \(\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\left(\frac{3(\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}}{r^5}-\frac{\boldsymbol{\mu}}{r^3}\right)\), in stretta analogia al campo di un dipolo elettrico.
• Nota fisica: \(\mathbf{A}\) ha realtà fisica (compare in \(\mathbf{F}=q\mathbf{E}+q\mathbf{v}\times\mathbf{B}\) e in meccanica quantistica). Accenno all'effetto Aharonov-Bohm: anche dove \(\mathbf{B}=0\) (esterno a un solenoide ideale) \(\mathbf{A}\neq 0\) può produrre una fase e interferenza. Avvio relatività speciale: leggi identiche in sistemi inerziali, \(c\) invariabile, e l'origine relativistica dei campi magnetici.

Cosa segue

Pagina 114: 3/12/2024 RIEPILOGO: INTERAZIONE FRA UNA CARICA

Qui si definisce il campo magnetico e le forze su cariche/correnti (Lorentz/Laplace) e si calcolano campi prodotti da correnti (Biot-Savart/Ampère), con esempi su fili, spire, solenoidi.

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Pagina 115: Le nuove velocità Ne v possono essere ricavate usando le leggi di composizione delle velocità:

Qui si introducono i concetti base di carica elettrica e interazione elettrostatica: forza tra cariche (Coulomb), campo elettrico e principio di sovrapposizione, con esempi di calcolo.

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Pagina 116: Ex = Ex B'x = Bx S Fortez E'y = j(Ey-vBz) By = y(By +Ez)

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Pagina 117: coriche presenti in tutto il circuito. Se invece tenessi il filo famo e spostassi

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Pagina 118: e un acquisto del flusso attraverso la superficie (2) di Bandtw. Di conseguenza, posso scrivere la variazione

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Pagina 119: 2) Consideriomo un sistema di riferimento in cui abbiamo un ↑Z compo magnetico uniforme e

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Pagina 120: 3) Consideriomo un sistema di riferimento in cui FERMO af LAB abbiamo un compo magnetico

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Pagina 121: varrà dire che in essa circolerà una corrente I variabile nel tempo, la quale

Qui si passa al regime stazionario di corrente: densità di corrente, legge di conservazione della carica, legge di Ohm, resistività e modelli microscopici (Drude).

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Pagina 122: Telefono di Bellmeucci > sottile Disco Di RAME FERRO L DOLCE- ~ BOBINA Di RAME

Qui si introducono i concetti base di carica elettrica e interazione elettrostatica: forza tra cariche (Coulomb), campo elettrico e principio di sovrapposizione, con esempi di calcolo.

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Pagina 123: guBor = pe Qu un intervallo di tempo at, ho una variazione della g. d

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Pagina 124: 6/12/2024 MUTUA Induzione Consideriamo un

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Pagina 125: I d = dV filo, avremo JdV = Jisde = Idl = = Ide. Al potenziale = P vettore(r) associato all'elementino...

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Pagina 126: Siccome ho N spire, il flusso totale di attraverso il toro sarà Pro(5) = Manten Se nella bobina scorre una...

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Pagina 127: La potenzadissipatadallaresistenzadiconseguenza,inuntempoa sara:

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Pagina 128: Ti Se invece consideriamo un percorso T che si trovi fra Ti & le armature del condensatore,

Qui si unificano i fenomeni con le equazioni di Maxwell e si studiano onde elettromagnetiche, energia/flussso (vettore di Poynting) e propagazione.

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Pagina 129: 0 = 100 +Me =o ho otenuto la legge di conservazione della carica 10 = exB =No +moso implicano+ = d

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Pagina 130: Ripetendo il fenomeno con varie sostanze, si osserva che certe sono soggette a forze attrattive e certe

Qui si collega il flusso del campo elettrico alla carica racchiusa (legge di Gauss) e si sfruttano simmetrie (piana, cilindrica, sferica) per ricavare \(\mathbf{E}\).

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Pagina 131: La forza complessiva agente sulla spira è F = IzärBr =ur > È u siccome ult, e nella direzione in cui cresce B...

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Pagina 132: ottengo un momento di dipolo magnetico medio = 0. Anche se tutti gli atomi avessero orbite complanari, avrei...

Qui si introducono i concetti base di carica elettrica e interazione elettrostatica: forza tra cariche (Coulomb), campo elettrico e principio di sovrapposizione, con esempi di calcolo.

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Pagina 133: tutti i materiali, che hanno infatti proprietà diAmagnetiche. Esempio:

Qui si studia la legge di Faraday-Lenz: una variazione di flusso magnetico induce una f.e.m. e correnti indotte; si discutono casi tipici e interpretazione energetica.

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Pagina 134: n Classicamente, possiamo visualizzare l'elettrone come una stretta di carica e nel

Qui si introducono i concetti base di carica elettrica e interazione elettrostatica: forza tra cariche (Coulomb), campo elettrico e principio di sovrapposizione, con esempi di calcolo.

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Pagina 135: 11/12/2024 Momento di dipolo magnetico: i

Qui si introduce la polarizzazione dei dielettrici e le grandezze macroscopiche \(\mathbf{P}\) e \(\mathbf{D}\), con relazione costitutiva e implicazioni su campo e potenziale.

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Pagina 136: Elementi che hanno shell parzialmente riempite, quindi non nullo, sono ad esempio i metalli di

Qui si definisce il campo magnetico e le forze su cariche/correnti (Lorentz/Laplace) e si calcolano campi prodotti da correnti (Biot-Savart/Ampère), con esempi su fili, spire, solenoidi.

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Pagina 137: Esempio: Tn30k, Brot 1002 e tankB M M = nM12.B MLB HO PARAMAGNETISMO CAMPO MAGNETICO

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Pagina 138: a Mz zn C Consideriamo un cubetto che abbia facce parallele ai piani > Y b I

Qui si passa al regime stazionario di corrente: densità di corrente, legge di conservazione della carica, legge di Ohm, resistività e modelli microscopici (Drude).

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Pagina 139: EQUAZIONI DELLA MAGNETOSTATICA In PRESENZA Di MATERIALI MAGNETICI E IN CONDIZIONI

Qui si passa al regime stazionario di corrente: densità di corrente, legge di conservazione della carica, legge di Ohm, resistività e modelli microscopici (Drude).

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Pagina 140: Partiamo da del ferro non magnetizzato, con il circuito spento quindi senza nemmeno compo magnetico: allora, M

Qui si collega il flusso del campo elettrico alla carica racchiusa (legge di Gauss) e si sfruttano simmetrie (piana, cilindrica, sferica) per ricavare \(\mathbf{E}\).

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Pagina 141: ESEMPIO: INDUTTANZA DEL TORO Di FERRO CON L'AVVOLGIMENTO Campo Fi:

Qui si passa al regime stazionario di corrente: densità di corrente, legge di conservazione della carica, legge di Ohm, resistività e modelli microscopici (Drude).

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Pagina 142: inmododiversoin questasivazione, ilcampioneristacomplessivament allineano:

Qui si unificano i fenomeni con le equazioni di Maxwell e si studiano onde elettromagnetiche, energia/flussso (vettore di Poynting) e propagazione.

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Pagina 143: = o + ho ottenuto tre equazioni scalari:

Qui si unificano i fenomeni con le equazioni di Maxwell e si studiano onde elettromagnetiche, energia/flussso (vettore di Poynting) e propagazione.

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Pagina 144: La sola trasformazione di Gauge E = Ä+F lascia invariato, ma non E. Per rendere invariato pure È

Qui si introduce la polarizzazione dei dielettrici e le grandezze macroscopiche \(\mathbf{P}\) e \(\mathbf{D}\), con relazione costitutiva e implicazioni su campo e potenziale.

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Cosa segue

Pagina 145: &e In regioni dello spazio in cui non ci sono > cariche ne

Si passa dalle equazioni di Maxwell alle equazioni d'onda e si introduce l'ansatz di onda piana per descrivere la propagazione di campi elettromagnetici in assenza di sorgenti.

• In vuoto (ρ=0, \(\mathbf{J}=0\)) i campi soddisfano equazioni del tipo \(\nabla^2\mathbf{E}-\frac{1}{c^2}\,\partial_t^2\mathbf{E}=0\) e analogamente per \(\mathbf{B}\).
• Per un'onda che si propaga lungo \(x\): \(\mathbf{E}=\mathbf{E}(x,t)\), \(\mathbf{B}=\mathbf{B}(x,t)\), si analizzano le componenti e i vincoli imposti da \(\nabla\cdot\mathbf{E}=0\), \(\nabla\cdot\mathbf{B}=0\).
• Obiettivo: arrivare alla forma generale di un'onda piana con campi trasversi e legati tra loro.

Cosa segue

Pagina 146:

Si dimostra che le onde elettromagnetiche sono trasverse e si costruisce la soluzione generale dell'equazione d'onda 1D come somma di un'onda progressiva e una regressiva.

• Si fattorizza l'operatore d'onda: \(\partial_x^2-\frac{1}{c^2}\partial_t^2=(\partial_x-\frac{1}{c}\partial_t)(\partial_x+\frac{1}{c}\partial_t)\).
• Ne segue la soluzione generale: \(f(x-ct)+g(x+ct)\).
• Dalle equazioni di Maxwell si ricavano i legami tra componenti di \(\mathbf{E}\) e \(\mathbf{B}\) (campi perpendicolari alla direzione di propagazione).

Cosa segue

Pagina 147:

Si definisce un'onda elettromagnetica armonica e si introduce la polarizzazione lineare: i campi oscillano lungo una direzione fissa mentre l'onda si propaga lungo una direzione perpendicolare.

• Esempio di propagazione lungo \(x\): \(\mathbf{E}=E_0\,\hat{\mathbf{y}}\,\sin(kx-\omega t)\), \(\mathbf{B}=B_0\,\hat{\mathbf{z}}\,\sin(kx-\omega t)\).
• Definizioni: periodo \(T=\frac{2\pi}{\omega}\), frequenza \(\nu=\frac{1}{T}\), lunghezza d'onda \(\lambda=\frac{2\pi}{k}\).
• Introduzione del vettore d'onda \(\mathbf{k}\) per descrivere propagazione in direzione arbitraria.

Cosa segue

Pagina 148:

Usando la rappresentazione complessa delle onde armoniche, si ricavano in modo pulito i vincoli su \(\mathbf{E}\), \(\mathbf{B}\) e \(\mathbf{k}\) e la relazione tra numero d'onda e frequenza.

• Per \(\mathbf{E}=\mathbf{E}_0 e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}\): \(\nabla\to i\mathbf{k}\), \(\partial_t\to -i\omega\).
• Dalle equazioni d'onda: \(k=\omega/c\) (in vuoto).
• Da Maxwell: \(\mathbf{k}\cdot\mathbf{E}_0=0\) e \(\mathbf{B}_0=\frac{1}{\omega}\,\mathbf{k}\times\mathbf{E}_0\) \(\Rightarrow\) campi trasversi e mutuamente perpendicolari.

Cosa segue

Pagina 149:

Si studia la propagazione in simmetria sferica: i fronti d'onda sono sfere e l'ampiezza dei campi decresce con la distanza.

• Si cerca una soluzione dipendente solo da \(r\): tipicamente \(F(r,t)=\frac{1}{r}f(r-ct)\) (onda uscente) e \(\frac{1}{r}g(r+ct)\) (onda entrante).
• Il fattore \(1/r\) nasce dalla geometria: la stessa energia si distribuisce su superfici \(4\pi r^2\).
• Si discute la connessione con la soluzione d'onda e con l'interpretazione fisica dei fronti d'onda.

Cosa segue

Pagina 150:

Si introduce il bilancio energetico del campo elettromagnetico: variazione dell'energia nel volume, flusso attraverso la superficie e potenza scambiata con le cariche.

• Energia nel volume: \(U=\int_V u\,dV\), con densità \(u\) del campo.
• Flusso di energia: \(\mathbf{S}=\frac{1}{\mu_0}\,\mathbf{E}\times\mathbf{B}\) (vettore di Poynting).
• Bilancio (forma integrale): \(\frac{d}{dt}\int_V u\,dV+\oint_{\partial V}\mathbf{S}\cdot d\mathbf{a}=-\int_V \mathbf{J}\cdot\mathbf{E}\,dV\).

Cosa segue

Pagina 151:

Si ricava la forma locale del bilancio energetico e si identifica l'espressione esplicita della densità di energia elettromagnetica.

• Forma locale: \(\partial_t u+\nabla\cdot\mathbf{S}=-\mathbf{J}\cdot\mathbf{E}\).
• In vuoto: \(u=\frac{\varepsilon_0}{2}E^2+\frac{1}{2\mu_0}B^2\).
• Per un'onda piana: \(\mathbf{S}\) è diretto come la propagazione e il valore medio nel tempo fornisce l'intensità.

Cosa segue

Pagina 152:

Si collega il trasporto di energia al trasporto di quantità di moto: un'onda elettromagnetica esercita una forza (pressione di radiazione) su un corpo che assorbe o riflette.

• Si interpreta il flusso di energia \(\mathbf{S}\) come flusso di quantità di moto del campo.
• Caso tipico: assorbimento \(p_{rad}\approx I/c\); riflessione ideale \(p_{rad}\approx 2I/c\) (a parità di intensità).
• Si discutono impulso e quantità di moto scambiati tramite la forza di Lorentz sulle cariche nel materiale.

Cosa segue

Pagina 153:

Con esempi concreti (urti di particelle e fotoni) si chiarisce perché l'onda elettromagnetica porta quantità di moto e come questo si traduce in pressione di radiazione.

• Modello classico: particelle che colpiscono una parete → il flusso di quantità di moto determina una pressione.
• Modello con fotoni: \(E=pc\) → energia e quantità di moto sono direttamente legate.
• Si confrontano energia assorbita/riflessa e variazione di quantità di moto per ottenere \(p_{rad}\).

Cosa segue

Pagina 154:

Si descrive la polarizzazione come evoluzione nel tempo del vettore \(\mathbf{E}\) in un punto fissato: a seconda delle fasi relative tra componenti si ottengono i diversi tipi di polarizzazione.

• Sovrapposizione di componenti ortogonali: \(E_y=E_{0y}\cos(kx-\omega t)\), \(E_z=E_{0z}\cos(kx-\omega t+\delta)\).
• Se \(\delta=0\) → polarizzazione lineare; se \(|E_{0y}|=|E_{0z}|\) e \(\delta=\pm\pi/2\) → circolare.
• Caso generale → ellisse di polarizzazione (ellittica).

Cosa segue

Pagina 155:

Si mette in forma esplicita l'equazione dell'ellisse di polarizzazione e si introduce come cambiano le equazioni di Maxwell in un mezzo materiale (con polarizzazione e correnti associate).

• Dalle due componenti con fase relativa si ricava un'equazione del tipo \(\left(\frac{E_y}{E_{0y}}\right)^2+\left(\frac{E_z}{E_{0z}}\right)^2-2\frac{E_yE_z}{E_{0y}E_{0z}}\cos\delta=\sin^2\delta\).
• Nei mezzi: \(\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}\) e compaiono correnti di polarizzazione \(\mathbf{J}_p=\partial_t\mathbf{P}\).
• Si prepara il terreno per la propagazione in dielettrici e l'indice di rifrazione.

Cosa segue

Pagina 156:

Si scrivono le equazioni di Maxwell in forma 'generale' (con sorgenti e mezzi) e si ottiene l'equazione d'onda nel dielettrico, introducendo indice di rifrazione e attenuazione.

• In un dielettrico lineare (senza cariche libere) l'onda si propaga con velocità \(v=\frac{c}{n}\).
• Se il mezzo è assorbente: indice complesso \(n(\omega)=n_r+i n_i\) → ampiezza che decade come \(e^{-\alpha x}\).
• Collegamento con la dipendenza in frequenza \(n(\omega)\) (dispersione).

Cosa segue

Pagina 157:

Si collega la risposta microscopica del mezzo (dipoli indotti) alle proprietà ottiche macroscopiche, introducendo un modello di oscillatore per l'elettrone legato nel campo elettrico dell'onda.

• Equazione tipo oscillatore forzato smorzato: \(\ddot x+\gamma\dot x+\omega_0^2 x=\frac{q}{m}E(t)\).
• Dipolo indotto: \(p(t)=q x(t)\) e polarizzabilità \(\alpha(\omega)\).
• Relazione tra suscettività e indice: in prima approssimazione \(n^2\simeq 1+\chi\) e \(\chi\propto N\alpha\).

Cosa segue

Pagina 158:

Risolvendo l'oscillatore in regime armonico si ottiene una polarizzabilità complessa: questo spiega insieme rifrazione (parte reale) e assorbimento (parte immaginaria).

• Soluzione armonica: \(x(t)=\Re\{x_0 e^{-i\omega t}\}\) con \(x_0\) complesso.
• Polarizzabilità: \(\alpha(\omega)=\alpha'(\omega)+i\alpha''(\omega)\) → indice complesso \(n=n_r+i n_i\).
• L'intensità decresce nel mezzo: \(I(z)\propto e^{-2\beta z}\) (coefficiente di assorbimento legato a \(n_i\)).

Cosa segue

Pagina 159:

Si discute come cambia l'indice di rifrazione con la frequenza vicino a una risonanza e come lo smorzamento determina l'ampiezza dell'assorbimento e la larghezza di banda (FWHM).

• Grafici qualitativi: picco di assorbimento attorno a \(\omega_0\) e variazione di \(n(\omega)\) (dispersione).
• Dispersione normale lontano dalla risonanza; possibile dispersione anomala in prossimità del picco.
• Interpretazione della FWHM come misura dell'intervallo di frequenze che viene assorbito in modo significativo.

Cosa segue

Pagina 160:

Un segnale reale non è un'onda infinita: si introduce il pacchetto d'onda come sovrapposizione di armoniche con frequenze vicine, con estensione finita nello spazio e nel tempo.

• Pacchetto → intervallo di frequenze \(\Delta\omega\) attorno a \(\omega_0\).
• Se la durata temporale è \(\Delta t\), tipicamente \(\Delta\omega\,\Delta t\sim 1\) (stima di Fourier).
• Esempi di sovrapposizione e idea di 'inviluppo' che modula l'oscillazione rapida.

Cosa segue

Pagina 161:

Si formalizza il pacchetto d'onda con lo sviluppo/trasformata di Fourier e si vede come un intervallo temporale finito produce uno spettro in frequenza con forma tipo sinc.

• Rappresentazione: \(E(t)=\int E(\omega)\cos(\omega t)\,d\omega\) (o forma complessa equivalente).
• Per una finestra temporale finita, \(E(\omega)\) è concentrato attorno a \(\omega_0\) con larghezza \(\sim 1/\Delta t\).
• Con dispersione, componenti a frequenze diverse viaggiano con velocità diverse → distorsione/spreading del pacchetto.

Cosa segue

Pagina 162:

Si distinguono velocità di fase e velocità di gruppo e si spiega come la dispersione \(k(\omega)\) modifica la propagazione dell'inviluppo del pacchetto d'onda.

• Velocità di fase: \(v_p=\omega/k\).
• Velocità di gruppo: \(v_g=\frac{d\omega}{dk}\) (velocità dell'inviluppo).
• In mezzo non dispersivo \(v_g\approx v_p\); in mezzo dispersivo il pacchetto può allargarsi. Si commentano dispersione normale/anomala e i limiti fisici sulla velocità di segnale.

Cosa segue

Pagina 163:

Si derivano le leggi di riflessione e rifrazione imponendo la continuità della fase lungo l'interfaccia tra due mezzi: la componente tangenziale del vettore d'onda deve coincidere per onda incidente, riflessa e trasmessa.

• Conservazione della componente parallela: \(k_{1}\sin\theta_i=k_{1}\sin\theta_r=k_{2}\sin\theta_t\).
• Ne segue \(\theta_r=\theta_i\) (riflessione) e \(n_1\sin\theta_i=n_2\sin\theta_t\) (Snell).
• Interpretazione geometrica tramite fronti d'onda e raggi.

Cosa segue

Pagina 164:

Si consolida la geometria dell'onda piana all'interfaccia: decomposizione di \(\mathbf{k}\) in componenti parallela e normale, scelta del sistema di riferimento e significato fisico dei diversi angoli.

• Si introducono/ricordano: \(\mathbf{k}=\mathbf{k}_{\parallel}+\mathbf{k}_{\perp}\) e il ruolo di \(\mathbf{k}_{\parallel}\) nella compatibilità di fase.
• Si visualizzano i raggi (direzione di propagazione) e i fronti d'onda nei due mezzi.
• Punto di partenza per i coefficienti di riflessione/trasmissione (Fresnel) e per la polarizzazione.

Cosa segue

Pagina 165:

Si introducono i coefficienti di Fresnel (ampiezze riflessa/trasmessa) per diverse polarizzazioni e si discutono casi notevoli: angolo di Brewster e riflessione totale interna.

• Per polarizzazioni s e p si ottengono coefficienti diversi per ampiezze e intensità riflesse/trasmesse.
• Angolo di Brewster (riflessione nulla per p): tipicamente \(\tan\theta_B=\frac{n_2}{n_1}\).
• Se \(n_1>n_2\): angolo critico \(\sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1}\) → riflessione totale interna.

Cosa segue

Pagina 166:

Si passa all'interferenza di due onde coerenti: differenza di cammino, differenza di fase e andamento dell'intensità osservata sullo schermo.

• Differenza di cammino: \(\Delta \ell=d\sin\theta\) (geometria a grandi distanze).
• Condizioni: massimi \(\Delta \ell=m\lambda\); minimi \(\Delta \ell=(m+\tfrac12)\lambda\).
• Per due onde di uguale intensità: \(I=4I_0\cos^2(\delta/2)\) con \(\delta=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta\ell\).

Cosa segue

Pagina 167:

Si interpreta la figura di interferenza in termini di frange (massimi/minimi) e si chiarisce il significato geometrico delle condizioni di fase costante.

• Loci di punti a \(\Delta\ell\) costante → curve (iperboli/ellissi a seconda della geometria) che identificano massimi o minimi.
• Massimi e minimi corrispondono a differenza di fase costante: \(\delta = \frac{2\pi}{\lambda}\Delta\ell\).
• Transizione dal caso di 2 sorgenti al caso di molte sorgenti (reticoli).

Cosa segue

Pagina 168:

Si spiega perché l'interferenza richiede coerenza: se la differenza di fase fluttua rapidamente nel tempo, il termine di interferenza si annulla nella media e resta solo la somma delle intensità.

• Sorgenti coerenti: fase relativa stabile → frange stabili.
• Sorgenti incoerenti: fase relativa variabile → \(\langle\cos\delta(t)\rangle=0\) → \(I_{tot}=I_1+I_2\).
• Concetti collegati: tempo/lunghezza di coerenza e visibilità delle frange.

Cosa segue

Pagina 169:

Si imposta il problema del reticolo: N sorgenti (o fenditure) equispaziate, osservazione in campo lontano e definizione della differenza di fase tra contributi successivi.

• Passo di fase tra sorgenti adiacenti: \(\delta = k d\sin\theta = \frac{2\pi}{\lambda}d\sin\theta\).
• Campo totale come somma dei campi dei singoli contributi (stesso \(\omega\), fasi diverse).
• Obiettivo: ottenere una formula chiusa per ampiezza e intensità in funzione di \(\theta\).

Cosa segue

Pagina 170:

Si riscrive la somma di molte onde usando l'esponenziale complesso per trasformare la sovrapposizione in una serie geometrica.

• Si passa da \(\cos(kr_j-\omega t)\) a \(e^{i(kr_j-\omega t)}\) per sommare facilmente le fasi.
• Si fattorizza il termine comune e resta una somma del tipo \(1+e^{i\delta}+\dots+e^{i(N-1)\delta}\).
• Questo porta direttamente alla struttura dei massimi/minimi del reticolo.

Cosa segue

Pagina 171:

Si calcola in forma chiusa la serie geometrica complessa e la si riscrive in termini di seni per evidenziare il fattore che modula l'ampiezza.

• Somma: \(S=\frac{1-e^{iN\delta}}{1-e^{i\delta}}\).
• Moltiplicando per esponenziali coniugati si ottiene \(|S|=\frac{\sin(N\delta/2)}{\sin(\delta/2)}\).
• Questo fattore determina la posizione dei massimi principali e la larghezza dei picchi.

Cosa segue

Pagina 172:

Si torna al campo fisico (parte reale) e si interpreta la somma come un'onda armonica con ampiezza che dipende dall'angolo: l'intensità è proporzionale al quadrato del fattore di interferenza.

• Campo: \(E(\theta,t)=E_0\,\frac{\sin(N\delta/2)}{\sin(\delta/2)}\cos(kr-\omega t+\varphi)\).
• Ampiezza angolare: \(A(\theta)=E_0\,\frac{\sin(N\delta/2)}{\sin(\delta/2)}\).
• Intensità: \(I(\theta)\propto \left[\frac{\sin(N\delta/2)}{\sin(\delta/2)}\right]^2\).

Cosa segue

Pagina 173:

Si mostra che la formula generale include come caso particolare la doppia fenditura e si studia il massimo centrale del reticolo.

• Per \(N=2\): \(\frac{\sin(N\delta/2)}{\sin(\delta/2)}=2\cos(\delta/2)\) → \(I=4I_0\cos^2(\delta/2)\).
• Per N qualunque: \(I(\theta)=I_0\,\frac{\sin^2(N\delta/2)}{\sin^2(\delta/2)}\).
• Limite \(\theta\to 0\): \(I_{max}=N^2 I_0\) (tutti i contributi in fase).

Cosa segue

Pagina 174:

Si analizzano massimi e minimi della distribuzione: i massimi principali avvengono quando tutti i contributi sono in fase; tra due massimi principali compaiono massimi secondari e zeri.

• Massimi principali: \(\delta=2\pi m\) (tutte le onde allineate in fase).
• Minimi (zeri): \(\sin(N\delta/2)=0\) con \(\sin(\delta/2)\neq 0\) → \(\delta=\frac{2\pi}{N}n\) non multiplo di \(2\pi\).
• Condizione per massimi secondari: dalla derivata emerge un'equazione del tipo \(N\tan x=\tan(Nx)\) (con \(x=\delta/2\)).

Cosa segue

Pagina 175:

Con un esempio numerico/qualitativo (N=6 fenditure) si visualizza la struttura della figura di interferenza: due picchi principali e, tra essi, i massimi secondari e i minimi.

• Tra due massimi principali compaiono \(N-2\) massimi secondari.
• I picchi principali sono più stretti e più intensi (π ∼ \(N^2\)).
• I grafici aiutano a distinguere chiaramente massimi principali, secondari e zeri.

Cosa segue

Pagina 176:

Si introduce la diffrazione come limite dell'ottica geometrica e si ricava (qualitativamente o quantitativamente) l'andamento dell'intensità per una fenditura singola; si collega poi il fenomeno alla risoluzione di strumenti ottici.

• Principio di Huygens-Fresnel: ogni punto del fronte d'onda si comporta come sorgente secondaria.
• Fenditura singola di ampiezza \(a\): in Fraunhofer \(I(\theta)=I_0\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2\), \(\beta=\frac{\pi a}{\lambda}\sin\theta\).
• Criterio di Rayleigh per due sorgenti: \(\theta_{min}\approx 1.22\,\frac{\lambda}{D}\) (apertura circolare).

Cosa segue

Fine documento.

Due pagine di domande/argomenti per ripasso orale (Parte 1 e Parte 2).